akon0.98bのよっぱらいの戯言

好客三年不変店 好店三年不変客

フラクタル幾何学

 

フラクタル幾何学(上) (ちくま学芸文庫)

フラクタル幾何学(上) (ちくま学芸文庫)

 
フラクタル幾何学(下) (ちくま学芸文庫)

フラクタル幾何学(下) (ちくま学芸文庫)

 

 

「雲は球形でなく,山は円錐形でない.海岸線も円形ではないし,樹皮もなめらかではなく,また稲妻も一直線には進まない」

「わかりにくは美徳ではない」と書いてあったか、理解できなかったので、キーワードだけメモを残す。

 建物が完成したのちには、足場の跡を目にすることはできない。 by ガウス

上巻はペランのブラウン運動解釈を契機に、古典的フラクタルから銀河のフラクタルへと進む。

下巻はマクロとミクロを往来するハウスドルフ次元が非整数ブラウン運動から触覚的テクスチャーに及び、この数学が経済変動の探求に由来することが明かされる。

 

第01章 テーマ

第02章 自然に存在する不規則かつ断片的なるもの

第03章 次元、対称、発散

第04章 目的と消去

 

第2部 3つの古典的フラクタル

レニー次元、ハウスドルフ次元、パッキング次元

 

第05章 ブリテン島の海岸線の長さは?

ハウスドルフ次元

 

第06章 雪片とコッホ曲線のいろいろ

自己相似とカスケード

形の各部が全体と幾何学的に相似であるとき、その形とそれを生成するカスケードは、自己相似であるという割れる。

 

トリアディックなコッホ曲線

 

第07章 ペアノの怪物曲線を手なづける

第08章 フラクタル事象とカントールダスト

 

第3部 銀河と渦

第09章 フラクタルで眺めた銀河団

フルニエ宇宙

シャーリーモデル

 

第10章 乱流の幾何学:間欠性

第11章 微分方程式フラクタル特異点

非粘性(オイラー)流体

粘性(ナビエ・ストーク)流体

 

第4部 測層フラクタル

第12章 長さ・面積・体積の関係

第13章 島、クラスター、パーコレーション:直径・数関係

フラクタルなα曲線、すなわち無数のバラの断片(連結した曲線)に分解していくフラクタル

コルチャクの経験則

第14章 分岐とフラクタル格子

シェルビンスキーのガスケット

 

第5部 非測層フラクタル

第15章 正の体積を持つ曲線と肉体

第16章 樹形構造:スケーリング残余:一様でないフラクタル

第17章 樹形と直径指数

 

第6部 自己写像フラクタル

第18章 自己反転フラクタル、アポロニウスのネット、石鹸

第19章 カントールダストとファトゥーダスト:自己平方ドラゴン

 

第20章 フラクタルアトラクターとフラクタル(「カオス」)の発展

アトラクター→吸引

リベラーの概念

 

第7部 ランダム性

第21章 モデル作りの道具としての確率

第22章 条件付き定常性と宇宙形態説

 

第8部 層化ランダムフラクタル

第23章 ランダム凝乳(ぎょうにゅう:curd):接触クラスターとフラクタルパーコレーション

第24章 ランダム鎖とスクイッグ

第25章 ブラウン運動とブラウンフラクタル

第26章 ランダム中点変位曲線

 

第9部 非整数ブラウンフラクタル

第27章 川の流量:スケーリングなネットとノイズ

ヨセフ効果とノア効果

ハースト現象

 

第28章 起伏と海岸線

第29章 島・湖・カップの面積

第30章 一様乱流の等温面

第10部 ランダムトレマ:テクスチャー

第31章 区間トレマ:線形レヴィダスト

第32章 従属性:空間レヴィダスト:秩序ある銀河

第33章 円板と球のトレマ:月のクレーターと銀河

第34章 テクスチャー:ギャップと空隙性:絹雲と準浸透性

第35章 一般的なトレマとテクスチャーの制御

 

第11部 雑記

第36章 統計的格子物理におけるフラクタルの論理

第37章 経済学における価格変動とスケーリング

第38章 幾何学を用いないスケーリングとベキ法則

第39章 数学的背景と補遺

第12部 思想と群像

第40章 略伝

第41章 歴史的概観

第42章 エピローグ:フラクタルへの道

 

目次

はじめに
第1部 序
第01章 テーマ
01.01 ゴールの紹介
01.02 科学のケースブック
01.03 宣言:自然の幾何学にはフラクタルの顔がある
01.04 数学、自然、美学
01.05 「フラクタル」と新しい造語
01.06 再びゴールについて
第02章 自然に存在する不規則かつ断片的なるもの
02.01 ジャン・ペランの文より
02.02 「怪物ギャラリー」から「科学博物館」へ
第03章 次元、対称、発散
03.01 次元という考え
03.02 フラクタルの定義
03.04 新しい考え方、...しかし
03.05 形のない数学的研究はトポロジーを超えねばならない
03.06 実行次元
03.07 糸のボールに内在するいろいろいな実行次元
03.08 空間的均質性、スケーリング、自己相似性
03.09 スケーリングを超えた対称
03.10 発散のシンドローム
第04章 目的と消去
04.01 わかりにくさは美徳ではない
04.02 知識は精神の糧
04.03 「百聞は一見にしかず」
04.04 標準的幾何「アート」とフラクタル幾何「アート」
04.05 この本の読み方
04.06 基本テーマに戻って
第2部 3つの古典的フラクタル
第05章 ブリテン島の海岸線の長さは?
05.01 かわりとなる測定方法のいろいろ
05.02 測定結果の任意性
05.03 この任意性は一般に認められているのか?そして、それは問題になるか?
05.04 リチャードソン効果
05.05 海岸線のフラクタル次元
05.06 ハウスドルフのフラクタル次元
05.07 曲線のフラクタル次元は1を超す:フラクタル曲線
第06章 雪片とコッホ曲線のいろいろ
06.01 自己相似とカスケード
06.02 海岸状のテラゴン、トリアディックなコッホ曲線K
06.03 怪物としてのコッホ曲線
06.04 調教されたコッホ曲線、次元D=log4/log3~1.2618
06.05 相似次元
06.06 曲線:トポロジカル次元
06.07 Λとλで限定された範囲でのDの直観的な意味
06.08 別のコッホジェネレーターと自己回避コッホ曲線
06.09 コッホの弧と半直線
06.10 Dが整数でないときの半径に対する測度の依存性
06.11 コッホ運動
06.12 ランダムな海岸線の予見
06.13 複雑か、それとも単純で規則的か?
第07章 ペアノの怪物曲線を手なづける
07.01 ペアノ「曲線」、運動、掃過
07.02 怪物としてのペアノ曲線
07.03 ペアノ曲線の真の性質
07.04 川と稜線の樹形構造
07.05 樹形構造、したがってペアノ運動には重複点がある
07.06 ペアノ運動とパータリング
07.07 面積で距離をはかる
第08章 フラクタル事象とカントールダスト
08.01 データ通信回線におけるエラー
08.02 バーストとギャップ
08.03 エラーバーストの大まかなモデル:カントールフラクタルダストC
08.04 凝乳化、トレマ、乳漿
08.05 上限の大きさと外挿されたカントールダクト
08.06 0と1の間の次元D
08.07 Dr=0なのでCはダスト
08.08 ギャップの長さの分布
08.09 エラーの平均数
08.10 トレマの端点とその極限
08.11 カントールのダストの本性
第3部 銀河と渦
第09章 フラクタルで眺めた銀河団
09.01 宇宙の密度は存在するのか?
09.02 恒星の場合は?
09.03 範囲のスケールに上限はあるか?
09.04 フルニエ宇宙
09.05 質量の分布とフラクタル的均質性
09.06 カントールダストとして見たフルニエ宇宙、D≠1への拡張
09.07 シャーリーモデルとその他のフラクタル宇宙
09.08 フルニエがD=1と予測する理由
09.09 ホイルの凝乳化:ジーンズの生成仮説もD=1となる
09.10 フルニエとホイルによるD=1の導出過程の同値性
09.11 なぜD=1.23で、D=1ではないのか?
09.12 天空のフラクタル次元
09.13 無限に明るい星空についての余談(オルバースのパラドクスと誤称されている)
09.14 ニュートンの引力についての余談
09.15 相対性理論に関する余談
09.16 凝集したフラクタル宇宙とは?
09.17 フラクタル配列の望遠鏡
09.18 銀河団のランダムなフラクタルモデル
09.19 ダイヤモンドと星
第10章 乱流の幾何学:間欠性
10.01 雲、伴流、ジェット等
10.02 等温線、拡散等
10.03 その他の幾何学的な疑問
10.04 乱流の間欠性
10.05 乱流の定義
10.06 自己相似フラクタルの役割
10.07 外端および内端
10.08 凝乳化およびフラクタル的一様乱流
10.09 間欠性がD>2を満たすことの実験的証拠
10.10 銀河と乱流の比較
10.11 指数の間の(不)等式
10.12 乱流のトポロジーは未解決
11.01 乱流理論の亀裂
11.02 特異点の重要性
11.03 予想:流体運動の特異点フラクタル集合をなす
11.04 非粘性(オイラー)流体
11.05 粘性(ナビエ‐ストークス)流体
11.06 物理学の非線形方程式の特異点
第4部 測層フラクタル
第12章 長さ・面積・体積の関係
12.01 標準的な次元解析
12.02 次元に関する矛盾の発見
12.03 フラクタルの長さ・面積関係
12.04 雨と雲の幾何学
12.05 面積・体積関係、微小滴の凝縮
12.06 哺乳動物の脳のしわ
12.07 肺胞と細胞の膜
12.08 モジュラー・コンピュータの幾何学
第13章 島、クラスター、パーコレーション:直径・数関係
13.01 コルチャクの経験則
13.02 コッホ大陸と島々の次元
13.03 直径・数関係
13.04 フラクタル次元は単なる分裂の測度か?
13.05 無限と島
13.06 無限大陸を求めて
13.07 島、湖、樹形の結合
13.08 接触クラスターの概念
13.09 質量・数関係と「重み」つき直径・数の関係、指数D-DcとD/Dc
13.10 かたまりとならない凝乳クラスタ
13.11 接合塊状凝乳クラスタ
13.12 手なづけた結び目のあるペアノの怪物
13.14 臨界ベルヌーイ・クラスターのDc
13.15 イトスギの群落
第14章 分岐とフラクタル格子
14.01 怪物としてのシェルピンスキーのガスケット
14.02 堅固で隙間だらけのエッフェル塔
14.03 臨界パーコレーション・クラスタ
14.04 トリアディックなシェルピンスキーのカーペット
14.05 トリアディックでないフラクタルのカーペット
14.06 トリアディックなフラクタルの海
14.07 メンガーによるトリアディックなフラクタルのスポンジ
14.08 トリアディックでないスポンジと泡
14.09 ギャップの大きさの分布
14.10 フラクタルネット、格子の概念
14.11 断面のフラクタル次元
14.12 曲線または面として見た分岐したフラクタル
14.13 分岐における曲線の位数
14.14 分岐の応用
14.15 分岐のもうひとつの形
14.16 コッホのピラミッドの神秘
14.17 球状のトレマと格子
14.18 空隙性の下見
第5部 非測層フラクタル
第15章 正の体積を持つ曲線と肉体
15.01 正の測度を持ったカントールダスト
15.02 ゆっくり変動するlogN/log(1/r)
15.03 正の面積を持つ曲線
15.04 動脈と静脈の幾何学
15.05 ルベーグ‐オスグッドの怪物は我々の肉体そのものである
15.06 古い直観、新しい直観
第16章 樹形構造:スケーリング残余:一様でないフラクタル
16.01 スケーリング残余集合の概念
16.02 残余が区間である樹形の骨格
16.03 一様でないフラクタル
16.04 フラクタルキャノピー
16.05 残余のない樹形
16.06 高エネルギー物理学:ジェット
第17章 樹形と直径指数
17.01 直径指数⊿
17.02 肺の気管支の樹形
17.03 気管支でパックされた3次元空間
17.04 肺胞の下限
17.05 血管の幾何学
17.06 植物の樹形
17.07 樹木のDと⊿
17.08 グリンヒルの男性的なスケーリング
17.09 D=⊿<3である植物
17.10 脳の幾何学について
17.11 ミズーリ川の川幅は?
第6部 自己写像フラクタル
第18章 自己反転フラクタル、アポロニウスのネット、石鹸
18.01 生物学的形態と「単純さ」
18.02 標準的な幾何反転
18.03 ハイボリックなモザイクあるいはタイル張り
18.04 反転群の極限集合
18.05 アポロニウスのネットとガスケット
18.06 アポロニウスのネットは自己反転
18.07 1本の糸で編まれたネット
18.08 自己相似でないカスケードとその次元
18.09 ポアンカレの鎖におけるL
18.10 フラクタル接触の概念
18.11 Lに接触するσ円板
18.12 一般化
18.13 スメクチック構造とアポロニウスのモデル
第19章 カントールダストとファトゥーダスト:自己平方ドラゴン
19.01 カントールダストは非線形変換によってつくられる
19.02 上限の有限性
19.03 カントールダストの解剖
19.04 平方ジェネレーター
19.05 ファトゥーの実数自己平方ダスト
19.06 平面における自己平方ジュリア曲線
19.07 μ原子とμ分子
19.08 セパレーターはフラクタル曲線である:系としてのファイゲンバウムのδ
第20章 フラクタルアトラクターとフラクタル(「カオス」)の発展
20.01 アトラクターの概念
20.02 リペラーの概念
20.03 フラクタルアトラクター、「カオス」
20.04 自己反転アトラクター
20.05 「時間」の反転
20.06 分解可能な力学系
20.07 「ストレンジ」アトラクターの役割
20.08 「フラクタル」対「ストレンジ」
第7部 ランダム性
第21章 モデル作りの道具としての確率
21.01 <X>は期待値を表す:確率の略記はPrとする
21.02 ランダムモデルの標準的役割
21.03 確率的不規則性の本当の大きさを求めて
21.04 確率の実用的な用途
21.05 再帰性からランダム性へ
21.06 ランダム性と擬似ランダム性
21.07 確率への不用意な依存と実際の記述
21.08 非束縛的確率と自己束縛的確率
21.09 ハイパボリックなランダム変数
21.10 ランダム集合の標準的なDとDr
第22章 条件付き定常性と宇宙形態説
22.01 並進不変と対称
22.02 宇宙論の原理
22.03 強い宇宙形態説の原理
22.04 宇宙形態説の原理
22.05 難問
22.06 条件付き定常性
22.07 条件付き宇宙形態説の原理
22.08 正の密度に関する補助仮説
22.09 δ>0である標準的な場合
22.10 δ=0である特殊な場合
22.11 非標準的な「無視できる事象」
22.12 層状構造の回避
22.13 層状でない条件付き宇宙形態説によるフラクタルの世界
22.14 予告
第8部 層化ランダムフラクタル
第23章 ランダム凝乳(ぎょうにゅう:curd):接触クラスターとフラクタルパーコレーション
23.01 ランダム化した線形ダスト
23.02 凝乳化したランダム線形ダスト
23.03 減少するDを持つ埋め込まれた凝乳
23.04 銀河におけるホイルの凝乳化
23.05 ノビコフ‐スチュアート乱流散逸は凝乳化を含む
23.06 ランダム凝乳の結果は「中間」図形
23.07 フラクタルの断面のD:余次元の加法性
23.08 ランダム凝乳の断面のD
23.09 凝乳のトポロジー:クラスタ
23.10 パーコレーティング・フラクタルクラスタ
第24章 ランダム鎖とスクイッグ
24.01 ランダム鎖と鎖曲線
24.02 最も簡単なスクイッグ
24.03 その他の格子とスクイッグ
24.04 鎖とスクイッグ曲線の比較
24.05 D~4/3という次元
24.06 分岐スクイッグ曲線
24.08 スクイッグ曲面
第25章 ブラウン運動とブラウンフラクタル
25.01 ブラウン運動の役割
25.02 ブラウンフラクタル:関数と軌跡
25.03 N=2のランダムなペアノ曲線として構成された平面ブラウン軌跡
25.04 ブラウンフラクタルネット(格子)
25.05 半径への質量の依存
25.06 ブラウン軌跡には「折れ目がなく」、一定の増分を持つ
25.07 ブラウン軌跡は自己相似である
25.08 ブラウン零点集合は自己相似
25.09 ブラウン関数は自己アフィン的
25.10 切片のフラクタル次元
25.11 細分化した格子ランダムウォーク
25.12 格子を用いないB(t)の直接的定義
25.13 流れとD=1への変化
25.14 選択ランダムペアノ曲線
25.15 量子力学の粒子の経路の次元
第26章 ランダム中点変位曲線
26.01 時間格子を持つ空間的非束縛ランダムコッホ曲線
26.02 非定常増分
26.03 ランダムに位置する層
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第9部 非整数ブラウンフラクタル
第27章 川の流量:スケーリングなネットとノイズ
27.01 ガウス型であることの重要性
27.02 非再帰的定義
27.03 ヨセフ効果とノア効果
27.04 ハースト現象、H指数
27.05 スケーリングノイズとしてのハーストノイズ
27.06 非整数デルタ分散
27.07 非整数階の微積
27.08 H>1/2:長(=無限)期間の持続性と非周期的サイクル
27.09 関数のDと零点集合のD
27.10 H>1/2:非整数ブラウン軌跡
27.11 H<1/2:非持続的非整数ブラウン運動
27.12 川の流量の非整数ブラウンモデル
27.13 他のスケーリングノイズ‐1/fノイズ
第28章 起伏と海岸線
28.01 水平地面上でのブラウン起伏
28.02 ブラウン起伏の海岸線
28.03 ブラウン起伏の生成
28.04 ブラウン起伏における大域的効果
28.05 球面上のブラウン起伏
28.06 パンゲアとパンタラシア
28.07 平坦な大地の上の非整数ブラウン起伏
28.08 宇宙形態説
28.09 地平線
28.10 地球の起伏の非整数ブラウンモデル
28.11 砕けた石、飛行場の滑走路、摩擦学
28.12 石油および他の天然資源の空間分布
28.13 周期的曲面と中点変位曲面
第29章 島・湖・カップの面積
29.01 島の射影面積
29.02 湖の射影面積
29.03 枯れ谷の概念
29.04 カップの概念
29.05 悪魔の段丘
29.06 侵食されたブラウンモデル:山脈と平地の混合
29.07 川と稜線
29.08 カップの性質
第30章 一様乱流の等温面
30.01 乱流のスカラー等値面
30.02 バーガースのデルタ分散
30.03 コルモゴロフのデルタ分散
30.04 一様乱流中での等値面はフラクタル
30.05 図1の説明
第10部 ランダムトレマ:テクスチャー
第31章 区間トレマ:線形レヴィダスト
31.01 条件付き定常エラー
31.02 線形レヴィダスト
31.03 実と虚のトレマ
31.04 区間トレマとギャップ
31.05 レヴィダストにおける生成過程と自然なクラスター化
31.06 バーガー‐マンデルブロ・モデルでのエラーの平均数
第32章 従属性:空間レヴィダスト:秩序ある銀河
32.02 コーシーフライトとD=1
32.03 従属操作という考え
32.04 従属操作は非ランダムフラクタルにまで拡張できる
32.05 次元の乗法
32.06 従属過程としての線形レヴィダスト
32.07 秩序ある銀河団
第33章 円板と球のトレマ:月のクレーターと銀河
33.01 平面と空間のトレマ
33.02 月のクレーターと円板トレマ
33.03 球形トレマを通じて生成された銀河と銀河間空間
33.04 隕石
33.05 付節:スケーリングでないクレーター
第34章 テクスチャー:ギャップと空隙性:絹雲と準浸透性
34.01 銀河団の「絹雲型」繊維
34.02 絹雲構造のフラクタル
34.03 「ほとんど」パーコレートするフラクタルには絹雲が予想される
34.04 銀河団に見られる空隙性
34.05 乱流の空隙性の
34.06 カントールダストの空隙性
34.07 N>>1かつD>1におけるギャップと絹雲
34.08 その他の空隙性の測度
34.09 ギャップの分布の係数
34.10 質量の係数に関連する2次効果としての空隙性
34.11 質量の係数に関連する1次効果としての空隙性
34.12 限界における遷移と空隙性
34.13 改善された並進対称性
34.14 層状のテクスチャーから非層状のテクスチャーへ
34.15 非空隙性フラクタル
第35章 一般的なトレマとテクスチャーの制御
35.01 トレマのジェネレーター:等方理論
35.02 一般的なトレマフラクタルのDcritによる準浸透性の制御
35.03 一般的なトレマフラクタルのLによる空隙性の制御
35.04 ブラウン軌跡に従属するダストにおける空隙性の制御
第11部 雑記
第36章 統計的格子物理におけるフラクタルの論理
36.01 2種類の収束について
36.02 ランダムウォークにおけるフラクタルの極限
36.03 「格子物理」におけるフラクタル
36.04 局所的な相互作用と大域的な秩序
36.05 架空の例
36.06 自己回避のランダムウォークと線形ポリマーの幾何
36.07 くりこみ論
36.08 自己回避多角形
36.09 海岸線のモデルに戻って
36.10 まっすぐ流れない川
第37章 経済学における価格変動とスケーリング
37.01 価格変動の不連続性
37.02 フィルター取引の誤謬
37.03 統計的な「修正」
37.04 経済学におけるスケーリングの原理
37.05 無限分散シンドローム
37.06 安定レヴィモデル
37.07 モデルの予測力
37.08 結論
第38章 幾何学を用いないスケーリングとベキ法則
38.01 ハイボリックな分布について
38.02 期待値のパラドクス
38.03 スケーリング確率分布
38.04 「統計的経済学における新しい方法」
38.05 単語の頻度に関するジップの法則
38.06 辞書の樹形
38.07 会話の温度
38.08 給料に関するパレートの法則
38.09 その他の収入分布
第39章 数学的背景と補遺
39.00 記載事項
39.01 自己アフィン性と自己相似性
39.02 ブラウンフラクタル集合
39.03 球による集合(またはその補集合)の次元と被覆
39.04 次元(フーリエ)と発見法
39.05 フラクタル(その定義について)
39.06 ハウスドルフ測度とハウスドルフ‐ベシコビッチ次元
39.07 定義関数/補助定義関数
39.08 レヴィの安定ランダム変数と関数
39.09 リプシッツ‐ヘルダーの発見法
39.10 メジアンとスキップ多角形
39.11 音楽:スケーリングの2つの特性
39.12 非空隙性フラクタル
39.13 ペアノ曲線
39.14 ポテンシャルとキャパシティ、フロストマン次元
39.15 打ち切りのもとでのスケーリング
39.16 相似性次元とその落し穴
39.17 定常性(その度合)
39.18 R/Sを使った統計解析
39.19 ワイエルシュトラス関数とその仲間、紫外と赤外の破局
第12部 思想と群像
第40章 略伝
40.01 バシュリエ
40.02 フルニエ
40.03 ハースト
40.04 レヴィ
40.05 リチャードソン
40.06 ジップ
第41章 歴史的概観
41.01 アリストテレスライプニッツ、キメラとフラクタル、存在の偉大な連鎖
41.03 「カントール」ダストとヘンリー・スミス
41.04 次元
41.05 「自然は飛躍せず」と「テウトボクス王の真説」
41.07 ポアンカレとギブス分布
41.08 スケーリング:古い経験的証拠
41.09 霊薬としてのスケーリング
41.10 ライプニッツラプラースに見るスケーリング
第42章 エピローグ:フラクタルへの道
参考文献
コンピュータ図版の制作者
謝辞
次元の索引
D1:基本的幾何学図形と正確なDおよびDr
D2:その他の幾何学図形とそのDrおよびDの推定値
D3:自然界の標準(ユークリッド)的物体のDrとD
D4:自然界のフラクタル的物体と、そのDrの推定値および典型的D
人名および項目索引
第2版に際しての新規追補(1982年12月)
43.01 クールシュベル研究会:新たなる予見
43.02 「フラクタル」の定義
43.03 一様なフラクタル乱流
43.04 金属の破砕とフラクタル
43.05 雲の形と降雨域の形
43.06 スケーリング、フラクタル地震
43.07 リチウム電池におけるフラクタル界面
43.08 臨界パーコレーション・クラスタ
43.09 物理学における空間の空隙フラクタルモデル
43.10 シェルピンスキーのガスケット:物理学者のおもちゃ
43.11 細胞オートマタとフラクタル
43.12 複素数へのz->z^2-μの反復:新しい結果と証明
43.13 4元数による平方写像
43.14 一般性とカオス:z->λ(z-1/z)とその他の写像
新規追補の参考文献
翻訳後記